- 각각 독자적으로 미적분학을 만들어 낸 뉴턴과 라이프니츠의 업적 과 관련해 역사책을 뒤져 보면 편지로 영국 해협을 왕래하며 서로 표 절이라고 신랄하게 비난하던 당시 사람들의 어리석음에 대해 읽을 수 있다. 둘을 비교할 때 우리 이야기에 관련된 한 가지 중요한 사실은 라 이프니츠가 만들어 낸 기호가 더 우수했다는 점이다. [7] 적분을 위해 사 용하는 핵심 기법(교과서에서는 '치환적분법'이라고 부르는)은 라이프 니츠의 기호를 사용할 때 거의 자동으로 이루어지는 반면, 뉴턴의 방식 에서는 더 복잡하다. 혹자는 미적분으로 인해 빠르게 발전하던 다른 유럽 지역의 수학에 비해 영국이 뒤쳐졌던 이유를 맹목적으로 자국의 영웅인 뉴턴을 떠받들던 그 시대 영국의 분위기 때문이었다고 말한다.
- 범용의 문자 체계
라이프니츠가 어린 시절 꿈꾸었던 '놀라운 생각', 즉 사람의 생각을 나 타내는 기호와 그 기호를 처리해 생각을 계산하는 기계는 어떻게 되었 을까? 자기 혼자서는 이 원대한 꿈을 이룰 수 없다는 사실을 잘 알고 있었지만 그는 절대로 꿈을 포기하지 않았고 그 꿈에 대해 계속해서 글을 써냈다. 기초 연산과 대수학에서 사용하는 특별한 문자들, 화학 이나 천문학에서 사용하는 기호들, 그리고 그가 미분과 적분 방정식에 서 사용했던 기호들은 적절한 기호가 문제의 해결에서 얼마나 중요한 지 새로운 패러다임을 보여 줬다.
라이프니츠는 이처럼 특별한 문자 기호들이 가능케 하는 새로운 언 어 체계를 '문자 체계 characteristic'라고 불렀다. 기호 자체에 의미가 없는 알파벳과 달리 앞에서 소개한 기호들은 실제적인 문자 체계로 각각의 문자 기호가 분명히 존재하는 개념을 자연스럽게 나타낸다. 라이프니츠는 범용의 문자 체계가 필요하다고 믿었다. 이러한 범용 체계는 실 제로 존재하고 모든 인간의 생각을 다 표현할 수 있다는 믿음이었다. 프랑스의 수학자 기욤 드 로피탈에게 쓴 편지에서 라이프니츠는 이 렇게 썼다. "대수학을 푸는 비밀은 부호를 어떻게 사용해 내는지 그기 술 여부에 달려있습니다. 적절하게 부호를 사용하면, 이 부호가 '아리 아드네의 실타래10'가 되어 학자들이 자신의 체계를 만들도록 인도할 것입니다."
20세기 초반 논리학자이자 라이프니츠를 연구한 학자 루이 쿠투라 는 이렇게 설명했다.
대수학에서 기호는 수학의 시스템 자체를 상징한다고 볼 수 있고 모델로도 쓰인다. 이는 또한 라이프니츠가 꾸준히 인용했던 것처럼, 적 절한 기호의 선택이야말로 논리를 추론해 가는 데 유용할 뿐 아니라 꼭 필요하다는 걸 보여 준다.
아마도 라이프니츠와 많은 서신을 교환했던 프랑스의 학자 장 갈로이 스에게 보낸 이 편지의 글만큼 그의 문자 체계 제안을 잘 설명하는 것 이 없을 듯하다.
나는 이 새로운 과학 체계의 실제 가치를 점점 더 확신하고 있습니 다. 하지만 이 과학 체계의 의미를 이해하는 사람은 거의 없다고 봐도 좋습니다.... 이 체계는 어떤 특정한 언어로 구성되어 있습니다. · 이것이 우리 생각의 관계들을 완벽하게 표현합니다. 이 체계의 문자들은 지금까지의 상상과는 완전히 다를 것입니다. 사람들이 대 수학이나 기초 연산에서 하는 것처럼 이 문자들은 의미를 만들고 판 단하는 데 사용되기 때문입니다. 이 체계는 대단히 강력한데, 그중 이 문자 체계를 사용하면 말이 안 되는 것(거짓된 사실)들은 표현할 수 없다는 점이 특히 중요합니다. 무지한 사람은 그 체계를 사용할 수 없습니다. 아니면 그 체계를 사용하면서 똑똑해질 것입니다.
- 불은 논리의 추론이 수학의 한 분야로 발전할 수 있음을 증명하는 위대한 업적을 남겼다. 아리스토텔레스가 논리학을 개척한 이후로 (그리스 시대의 스토아학파와 20세기 유럽 학자들에 의해) 몇 가지 발전이 있긴 했지만 불은 아리스토텔레스가 2000년 전에 남겨 놓았던 주제를 재발견하게끔 했다. 수리 논리학mathematical logic은 불 이후 현 재에 이르기까지 지속적으로 발전하고 있다.
- 칸토어는 뛰어나고 혁신적인 사상가였다. 그의 추상적 원칙과 일관된 수학적 직관은 무한이라는 새로운 수학 세계를 만들어 냈다. 그의 정리들은 여전히 변화 없이 사용되고, 현대에 와서 그보다 더 엄밀한 체계를 사용할 수 있는 집합론 학자들에 의해 계속 발전하고 있다.
그러나 칸토어는 정신적으로 심각한 문제가 있었는데, 조울증으로 인해 감정의 극단을 오가며 고통 받고 있었다. 또한 자신의 연구를 무 의미하게 여기는 스승 크로네커로 인해 깊은 상처를 받았다. 그는 크 로네커의 반대가 단순히 말 수준을 넘어 여러 차례 그의 연구를 지연 시키거나 막았다고 믿었다. 그러나 크로네커와 그와의 관계는 여전히 우호적이었고 그의 연구들은 급진적인 내용을 담았음에도 모두 출판 되었다. 부유한 학자였던 크로네커는 학계의 논쟁을 멀리하고 스스로 만들어 낸 방법들로 수학을 파고들어 중요한 결과를 만들어 내는 데 만족하고 있었을지도 모른다. 그리고 이들이 만들어 낸 결과를 현재의 연구와 교육에 사용하고 있는 우리는 두 사람 모두를 존경해야 한다.
- 폰 노이만과 훗날 컴퓨터에 대해 함께 연구했던 사람은 폰 노이만이 수학의 일관성 증명을 위해 얼마만큼 노력을 기울였는지 엿볼 수 있는 재미있는 일화를 소개했다.
하루 일과를 마치고 나면 (폰 노이만은) 침대에 누워 새로운 통찰을 얻을 때까지 깨어 있곤 했습니다. (수학의 일관성을 증명하기 위해 계속해서 생각했지만 성공하지 못했던 겁니다! 어느 날 밤 그는 꿈속 에서 걸림돌을 해결하는 방법을 발견해서 더 길게 증명을 이어갈 수 있었습니다. 그리고 다음날 아침 다시 증명에 매달렸지만 실패했습 니다. 그리고 그날 밤 다시 침대에 누워 꿈을 꾸었습니다. 이번에는 정말로 그 걸림돌의 해결책을 찾은 겁니다. 그러나 아침에 깨었을 때 는 ... 여전히 문제점이 남아 있었습니다.
폰 노이만은 “세 번째 밤 역시 꿈을 꾸었다면 결과는 달랐을 것입니다!"라고 재치 있게 술회했다.
- 1930년대 프린스턴에서 수학을 둘러싸고 벌어진 일들
1930년대 (그리고 1950년대까지) 프린스턴의 수학과는 낮은 층수의 매력적인 붉은 벽돌 건물인 파인 홀Fine Hall에 입주해 있었다. 그 시절 파인 홀에서는 프린스턴 대학교의 수학과 교수들뿐 아니라 고등연구 소의 수학자들이 일하고 있었다. 나치 정권을 피해 미국으로 탈출한 과학자들이 대거 유입되었으며, 프린스턴에 모여 있는 수학자들의 재 능은 1930년대에 이르러 괴팅겐과 견줄 만했고 곧 괴팅겐을 능가했 다. 파인 홀의 복도에서는 바일, 아인슈타인, 폰 노이만과 같은 사람들 을 마주칠 수 있었다. 이때의 폰 노이만은 수학의 근본에 관한 힐베르 트의 프로젝트에서 아주 멀어져 있었다.
논리학자 알론조 처치 역시 프린스턴 대학교의 교수 중 한 명이었 다. 또한 수학자로서 뛰어난 업적을 남긴 스티븐 클레이니와 버클리 로서가 처치의 박사과정 학생으로 거기에 있었다.
- 1947년 2월 20일 튜링은 런던 수학 학회에서 디지털 전자 컴퓨터를 주제로 한 강연 중 에이스에 대해 이야기했다. 그는 1936년 쓴 <계산 가능한 수> 논문에 대한 이야기로 시작했다.
나는 중앙에서 제어하고, 무한한 테이프에 담겨 메모리에 제한이 없 는 기계에 대해 상상했습니다. 한 가지 결론은 사람이 대략적으로 셈을 하는 과정'과 '기계의 과정'은 동일하다는 것입니다. 에이스와 같은 기계는 내가 상상했던 기계의 실제적인 버전이라고 생각할 수 있 습니다. 에이스와 같은 디지털 컴퓨터는 범용 기계의 실제적인 버전 이라고 부를 수 있을 만큼 둘 사이에는 유사점이 아주 많습니다.
튜링은 이어서 이런 질문을 던졌다. "컴퓨터는 이론적으로 얼마만큼 사람을 흉내 낼 수 있을까요?" 이어서 그는 컴퓨터가 스스로 배울 수 있고 때론 실수도 할 수 있도록 프로그래밍할 수 있을지 질문했다. “이 렇게 이야기할 수 있는 여러 가지 정리가 있습니다. ... 기계에 실수가 없다면 지능이 있다고 이야기할 수도 없습니다.... 그러나 이러한 증 명은 기계가 실수를 한다는 가정하에 얼마만큼의 지능을 보일 수 있을 지는 이야기하지 않습니다."
이 말은 괴델의 불완전성 정리를 에둘러댄 언급이었는데, 다음 장에 서 더 이야기하겠다. 튜링은 컴퓨터가 사람보다 더 완벽하리라 기대해 서는 안 된다고 하며 '컴퓨터에게 공정한 게임'을 요청했다. 그러면서 그 시작으로 체스 게임이 적절한 연습이 되리라 제안하며 강연을 마무 리했다. 아직 그러한 기계가 단 하나도 완성되지 않았을 때였다! 전해 지는 말에 따르면 청중들은 놀라 아무 말도 못했다고 한다.
블레츨리 파크의 책임자들은 적절한 재정과 지원을 얻지 못하게 되자 윈스턴 처칠에게 편지를 보냈고 처칠은 즉시 그들이 필요로 하는 지원 을 얻도록 조치했다. 그러나 에이스 제작은 우선순위에서 밀렸고 NPL 담당자들은 관리에 미숙했다.
- 사람의 자아 인식은 우리가 각자의 고유한 개성을 경험하는 주요한 방식이다. 그러나 우리는 오직 우리 마음으로만 인식할 수 있다. 우리 는 우리 자신의 자아만 인식하지 다른 사람들의 의식은 알지 못한다. 내 아내는 자신의 의식이 대부분 시각적 이미지로 채워져 있다고 강조 한다. 아내의 의식과 내 의식이 정말로 같은 종류일까? 의식은 도대체 무엇이고 의식의 목적은 무엇이란 말인가? 내가 이 글을 쓰며 적절한 표현을 찾고 있는데 운이 좋을 때는) 마음 깊은 곳에 있는 의식에서 그 단어가 떠오른다. 내 머리에서 어떻게 그렇게 신기한 일이 벌어지 는지는 나도 모른다. 단순한 진리는 이 시점에 자각이란 현상은 여전히 미스터리로 남아 있다는 사실이다.
